Construction de conditions transparentes dans les guides d’ondes électromagnétiques#

Présentation du problème#

Je travaille sur la résolution numérique des équations de Maxwell dans un guide d’ondes électromagnétiques fermé \(\Omega\).

Je rappelle ces équations en régime harmonique, ainsi que les conditions de bord de type conducteur parfait :

\[\begin{split}\left| \begin{aligned} \mathbf{Rot} \, \mathbf{E} - i \omega \mu \mathbf{H} &= 0 \\ \mathbf{Rot} \, \mathbf{H} + i \omega \varepsilon \mathbf{E} &= \mathbf{J} \\ \mathrm{div} \, \varepsilon \mathbf{E} &= 0 \\ \mathrm{div} \, \mu \mathbf{H} &= 0 \end{aligned} \right. \quad \text{dans } \Omega, \qquad \quad \qquad \left| \begin{aligned} \mathbf{n} \times \mathbf{E} &= 0 \\ \mathbf{n} \cdot \mu \mathbf{H} &= 0 \end{aligned} \right. \quad \text{sur } \partial \Omega.\end{split}\]

Pour l’étude théorique comme pour la simulation numérique par éléments finis, il est nécessaire de tronquer le domaine. Il est donc essentiel d’imposer des conditions transparentes pour empêcher les réflexions parasites sur les frontières artificielles.

Maillage guide 1 — Exemple de deux maillages de guides d’ondes électromagnétiques fermés tronqués (générés avec Gmsh).

Maillage guide 2 — Exemple de deux maillages de guides d’ondes électromagnétiques fermés tronqués (générés avec Gmsh).

Objectif de la thèse#

On propose une nouvelle approche modale de ces conditions transparentes en s’inspirant de ce qui a été fait dans le cadre des guides élastique, qui présentent des difficultés similaires :

Dans le cas homogène, où le matériau est constant dans la section du guide, les modes sont connus et exploitables de manière classique.
Dans le cas hétérogène, l’analyse est plus délicate : les modes ne sont ni orthogonaux ni complets, ce qui nécessite une étude mathématique plus fine.

Ce projet croise plusieurs domaines :

Modélisation mathématique
Analyse fonctionnelle des équations de Maxwell
Simulations numériques avec les éléments finis de Nédélec.

Le tout vise à développer des conditions efficaces, robustes et adaptées à la simulation des guides complexes.

Quelques résultats numériques#

Toutes les simulations ont été réalisées à l’aide de la librairie XLiFE++ (https://xlifepp.pages.math.cnrs.fr/)

Section Hetero Light — À gauche, une représentation d’une **section hétérogène** d’un guide d’ondes. À droite, les **courbes de dispersion** associées à cette configuration : la courbe orange met en évidence la présence d’un **mode inverse**.

Courbes Dispersions Light — À gauche, une représentation d’une **section hétérogène** d’un guide d’ondes. À droite, les **courbes de dispersion** associées à cette configuration : la courbe orange met en évidence la présence d’un **mode inverse**.

Visualisation d’un mode TEM se propageant dans un guide d’ondes à section non simplement connexe.