Probabilités

Certaines probabilités peuvent être calculées exactement. Une simulation permet aussi de les estimer en répétant un grand nombre de fois la même expérience aléatoire.

Dès la seconde

Produire un résultat aléatoire

Le module random contient des fonctions liées au hasard. Il faut l’importer avant de les utiliser.

Exemple

Importer random

Prêt

import random print("Module chargé")

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Chaque cellule de cette page réécrit import random afin de pouvoir être exécutée indépendamment.

random.randint(a, b) choisit un entier entre a et b, bornes incluses.

Exemple

Tirer un entier

Prêt

import random x = random.randint(3, 9) print(x)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Après plusieurs exécutions, les valeurs 2 et 10 ne doivent jamais apparaître.

Simuler un dé ou une pièce

six issues

PpileFfacedeux issues

Une fonction peut représenter une expérience aléatoire. Chaque appel réalise alors un nouveau lancer et renvoie son résultat.

Exemple

Lancer un dé

Prêt

import random def lancer_de(): return random.randint(1, 6) print("Résultat du dé :", lancer_de())

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Peut-on obtenir 0 ? Peut-on obtenir 7 ? Les bornes choisies dans randint répondent directement à ces questions.

Pour un pile ou face, on peut coder les deux issues par 0 et 1.

Exemple

Pile ou face

Prêt

import random def pile_ou_face(): tirage = random.randint(0, 1) if tirage == 0: return "Pile" return "Face" print(pile_ou_face())

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Répéter une expérience

Une boucle permet d’effectuer plusieurs lancers en une seule exécution.

Exemple

Dix lancers de dé

Prêt

import random for i in range(1, 11): de = random.randint(1, 6) print("Lancer", i, ":", de)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Le nombre de lancers peut être modifié sans changer le reste du programme.

Compter un événement

Le compteur augmente uniquement lorsque l’événement étudié se produit.

Exemple

Compter les 6

Prêt

import random compteur = 0 for i in range(20): de = random.randint(1, 6) if de == 6: compteur = compteur + 1 print("Nombre de 6 :", compteur)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Plusieurs exécutions donnent des compteurs différents : les vingt lancers ne produisent pas toujours la même série de résultats.

Passer du compteur à la fréquence

La fréquence d’un événement est :

\[\text{fréquence}=\frac{\text{nombre de succès}}{\text{nombre total d’essais}}.\]

Exemple

Fréquence d’un 6

Prêt

import random compteur = 0 essais = 1000 for i in range(essais): de = random.randint(1, 6) if de == 6: compteur = compteur + 1 frequence = compteur / essais print("Fréquence observée :", frequence)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

La probabilité exacte vaut \(\frac16\approx0{,}167\). Remplace 1000 par 20, puis par 10 000. Avec davantage d’essais, la fréquence fluctue encore, mais elle est généralement plus proche de la probabilité théorique.

Somme de deux dés

Exemple

Un lancer de deux dés

Prêt

import random de1 = random.randint(1, 6) de2 = random.randint(1, 6) print("Dé 1 :", de1) print("Dé 2 :", de2) print("Somme :", de1 + de2)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

On peut maintenant estimer la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 8.

Exemple

Une somme supérieure ou égale à 8

Prêt

import random compteur = 0 essais = 1000 for i in range(essais): de1 = random.randint(1, 6) de2 = random.randint(1, 6) if de1 + de2 >= 8: compteur = compteur + 1 frequence = compteur / essais print("Fréquence observée :", frequence)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Un calcul exact donne \(\frac{15}{36}=\frac5{12}\approx0{,}417\). Compare cette valeur à plusieurs simulations.

Approcher pi par la méthode de Monte-Carlo

On choisit des points au hasard dans le carré \([-1;1]\times[-1;1]\). Son aire vaut 4. Le disque de centre O et de rayon 1, contenu dans le carré, a pour aire \(\pi\).

La proportion de points situés dans le disque est donc proche de \(\frac{\pi}{4}\).

Les points retenus sont ceux qui se trouvent à l’intérieur du disque unité.

La condition mathématique est \(x^2+y^2\leqslant1\) ; en Python, elle s’écrit x**2 + y**2 <= 1.

Exemple

Approximation de pi

Prêt

import random compteur = 0 essais = 5000 for i in range(essais): x = random.uniform(-1, 1) y = random.uniform(-1, 1) if x**2 + y**2 <= 1: compteur = compteur + 1 pi = 4 * compteur / essais print("Approximation de pi :", pi)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

random.uniform(-1, 1) choisit un nombre décimal entre −1 et 1. Augmente essais et observe à la fois l’amélioration habituelle de l’approximation et les fluctuations qui subsistent.

Exercices

Exercice 1

Écrire une fonction nombre_faces(n) qui simule n lancers d’une pièce et renvoie le nombre de faces obtenues. L’utiliser pour 20 lancers et afficher le résultat.

À toi

Vingt lancers d’une pièce

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Exercice 2

Écrire une fonction frequence_quatre(n) qui simule n lancers d’un dé et renvoie la fréquence d’apparition du nombre 4. L’utiliser pour 100 lancers et afficher le résultat.

À toi

Fréquence du nombre 4

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Exercice 3

Écrire une fonction frequence_somme_sept(n) qui simule n lancers de deux dés et renvoie la fréquence de l’événement « obtenir une somme égale à 7 ». L’utiliser pour 200 essais et afficher le résultat.

À toi

Fréquence d’une somme égale à 7

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Dans le parcours

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