Suites

Les fonctions, les boucles et les listes prennent ici un sens très concret : calculer plusieurs termes d’une suite, suivre leur évolution et conserver les valeurs obtenues.

Dès la première

Suite définie par une formule explicite

Une formule explicite donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\). Pour \(u_n=2n+3\), une fonction Python traduit la formule.

Exemple

Six termes d’une suite explicite

Prêt

def u(n): return 2*n + 3 for n in range(6): print("u("+str(n)+") =", u(n))

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

La boucle parcourt les rangs 0 à 5. Il s’agit donc des six premiers termes lorsque la suite commence à \(u_0\).

Une autre suite peut être étudiée en changeant uniquement la formule.

Exemple

Suite des carrés

Prêt

def u(n): return n**2 for n in range(6): print(u(n))

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Quelle suite est définie ? Ajoute le rang dans l’affichage sans modifier la fonction u.

Mise en pratique

Créer une fonction définissant

\[u_n=\frac{5n-2}{4+(-1)^n}\]

et afficher les six premiers termes. En Python, \((-1)^n\) s’écrit (-1)**n.

À toi

Suite explicite

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Suite définie par récurrence

On considère :

\[u_0=2 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+3.\]

Si l’on utilise seulement cette relation de récurrence, il faut calculer les termes dans l’ordre : chaque nouveau terme dépend du précédent.

Exemple

Calculer des termes successifs

Prêt

u = 2 for n in range(6): print("u("+str(n)+") =", u) u = u + 3

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

u₀2

+ 3

u₁5

+ 3

u₂8

+ 3

u₃11

L’ordre des deux lignes dans la boucle est essentiel : on affiche le terme actuel avant de calculer le suivant. Échange-les temporairement et explique le décalage observé.

Un rang décalé à corriger

Pour la même suite, ce programme annonce u(0) = 5 alors que \(u_0=2\). Aucune erreur Python n’apparaît : c’est l’ordre des instructions qui pose problème.

À corriger

Afficher le bon terme au bon rang

Erreur attendue

u = 2 for n in range(4): u = u + 3 print("u("+str(n)+") =", u)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Comment chercher ?

Suivre uniquement le premier passage : n vaut 0, mais u est modifié avant l’affichage. Il faut décider si la valeur associée au rang courant doit être affichée avant ou après le calcul du terme suivant.

Un deuxième exemple

Pour la suite géométrique :

\[u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=2u_n,\]

seule la formule de mise à jour change.

Exemple

Suite géométrique

Prêt

u = 1 for n in range(6): print("u("+str(n)+") =", u) u = 2*u

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Le sixième terme peut être prévu avant l’exécution. Avec 0,5 à la place de 2, le comportement devient très différent.

Mise en pratique

On considère \(u_0=0{,}1\) et \(u_{n+1}=u_n^2+0{,}5\). Afficher les six premiers termes en respectant leur rang.

À toi

Suite récurrente

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Mémoriser les termes

Afficher une valeur ne permet pas de la réutiliser plus tard. Une liste peut conserver tous les termes calculés.

Exemple

Stocker une suite explicite

Prêt

L1 = [] for n in range(6): L1.append(2*n + 3) print("L1 =", L1)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Pour une suite récurrente, on ajoute le terme actuel avant de calculer le suivant.

Exemple

Stocker une suite récurrente

Prêt

L2 = [] u = 2 for n in range(6): L2.append(u) u = u + 3 print(L2) print(L2[0]) print(L2[3]) print(L2[-1])

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Les indices 0, 3 et −1 correspondent ici aux rangs 0, 3 et 5. Cette correspondance est vraie parce que la liste commence par \(u_0\) et ne saute aucun terme.

Mise en pratique

Avec une formule explicite. Créer une liste contenant les six premiers termes de \(u_n=3(n+2)^2\), puis afficher cette liste.

À toi

Liste de termes explicites

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Avec une relation de récurrence. On considère \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=-3u_n\). Stocker les six premiers termes dans une liste et l’afficher.

Besoin d’un indice ?

Crée d’abord une liste vide et initialise u avec \(u_0\). À chaque passage dans la boucle, ajoute le terme actuel à la liste avant de calculer le suivant.

À toi

Liste de termes récurrents

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Additionner des termes

Un accumulateur permet de calculer une somme sans conserver tous les termes. Pour \(u_n=2n+1\), le programme suivant calcule \(u_0+u_1+\cdots+u_{10}\).

Exemple

Somme de onze termes

Prêt

def u(n): return 2*n + 1 somme = 0 for n in range(11): somme = somme + u(n) print("Somme :", somme)

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Remplace 11 par 6 et vérifie le résultat à la main. Une liste serait utile pour garder les termes ; elle n’est pas nécessaire lorsque seule la somme finale est recherchée.

Mise en pratique

Calculer avec une boucle la somme des carrés des entiers de 1 à 20, puis la somme de leurs cubes. Afficher les deux résultats.

À toi

Sommes de carrés et de cubes

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

La suite de Fibonacci

Ses deux premiers termes sont \(F_0=0\) et \(F_1=1\). À partir de là, chaque terme est la somme des deux précédents :

\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.\]

0112358

0 + 1 = 1  ·  1 + 1 = 2  ·  1 + 2 = 3

Pour calculer le terme suivant, il faut donc encore connaître les deux termes précédents. Deux variables peuvent les mémoriser ; après le calcul, elles doivent avancer d’un rang sans perdre trop tôt l’ancienne valeur.

Le tableau suivant montre ce déplacement. La troisième colonne est calculée avant de remplacer les deux premières valeurs.

Faire avancer les deux termes mémorisés

étape	terme précédent	terme actuel	terme suivant
0	0	1	0 + 1 = 1
1	1	1	1 + 1 = 2
2	1	2	1 + 2 = 3
3	2	3	2 + 3 = 5

Mise en pratique

Écrire une fonction fibonacci(n) qui renvoie la liste des n premiers termes. On attend par exemple [0, 1, 1, 2, 3, 5, 8] pour n = 7.

À toi

Premiers termes de Fibonacci

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

La suite de Syracuse

On choisit un entier positif \(a\) et on pose \(u_0=a\). Pour calculer le terme suivant, deux règles sont possibles :

\[\begin{split}u_{n+1}= \begin{cases} \dfrac{u_n}{2} & \text{si }u_n\text{ est pair},\\[4pt] 3u_n+1 & \text{si }u_n\text{ est impair}. \end{cases}\end{split}\]

Avec \(u_0=6\), on obtient :

6pair : ÷ 2→ 3impair : × 3 + 1→ 10pair : ÷ 2→ 5impair : × 3 + 1→ 16puis 8, 4, 2→ 1arrêt choisi

Dans cette activité, le programme s’arrête dès que 1 est atteint. Sans cet arrêt, les termes 1, 4, 2, 1 se répéteraient. La condition « pair » se teste avec le reste de la division par 2. Toutes les valeurs initiales testées jusqu’à présent finissent par atteindre 1, mais personne ne sait encore le démontrer pour tous les entiers positifs : c’est la conjecture de Syracuse.

Mise en pratique

Écrire une fonction syracuse(a) qui renvoie la liste des valeurs obtenues jusqu’au premier 1, valeur initiale et valeur finale comprises. Tester la fonction avec 6, puis avec 15.

À toi

Parcours de Syracuse

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Dans le parcours

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