Seuils#
Une boucle while est particulièrement adaptée aux questions qui commencent par « à partir de quand ? » ou « combien d’étapes faut-il ? ». On ne connaît pas forcément à l’avance le nombre de répétitions : c’est la condition d’arrêt qui le détermine.
Dès la première
Trouver un premier rang#
Dépasser un seuil#
On considère :
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n>100\).
La condition de la boucle décrit la situation dans laquelle on doit continuer : tant que \(u_n\leqslant100\), le seuil recherché n’est pas encore franchi.
La boucle s’arrête sur la première valeur située au-delà du seuil.
Atteindre une valeur cible#
Le même mécanisme peut compter le nombre d’étapes d’une évolution plus simple.
En changeant la valeur initiale de x, il faut prévoir si le nombre d’étapes devrait augmenter ou diminuer.
Seuil sur une suite arithmétique#
On considère :
On cherche le plus petit rang tel que \(u_n\geqslant50\).
Le terme précédent doit être strictement inférieur à 50. Cette vérification confirme que le rang trouvé est bien le premier.
Étudier un comportement#
Dès la terminale
Entrer dans un voisinage d’une limite connue#
On considère la suite définie par \(u_0=0\) et
On sait qu’elle converge vers 2. Le programme suivant ne découvre donc pas la limite : il cherche le premier rang pour lequel \(u_n\) est à moins de 0,01 de 2.
La fonction abs(x) donne la valeur absolue de x. Ainsi, abs(u - 2) mesure ici la distance entre \(u_n\) et 2.
0.01 est la précision demandée. Remplace-la par 0.001 : la boucle doit effectuer davantage d’itérations.
Une suite qui grandit sans limite#
Pour \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=1{,}5u_n\), la suite grandit sans limite. Cela ne signifie pas que le programme doit tourner indéfiniment : on choisit un seuil concret, ici 1000.
Avec les seuils 100 puis 10 000, le rang augmente, mais le programme conserve une condition d’arrêt précise.
Observer une stabilisation numérique#
Lorsque la limite n’est pas utilisée dans la condition, on peut comparer deux termes consécutifs. Pour certaines suites convergentes, des termes successifs très proches donnent une indication numérique de stabilisation.
Cette observation n’est pas une preuve générale de convergence : une suite peut évoluer très lentement ou avoir un comportement plus compliqué. Il faut donc l’utiliser dans un contexte mathématique identifié.
Dans l’exemple suivant, u et suivant conservent deux termes consécutifs de la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5u_n+2\).
À chaque passage, l’ancien terme suivant devient le terme actuel, puis un nouveau terme est calculé. Diminue 0.01 et vérifie que l’écart final respecte la précision demandée.
Comparer et modéliser#
Comparer deux évolutions#
Une recherche de seuil peut aussi comparer deux grandeurs. Deux offres proposent, après
n mois, les tarifs \(A_n=30+2n\) et \(B_n=18+3{,}5n\). On cherche le premier
mois à partir duquel la première devient strictement moins chère.
La comparaison des valeurs au rang précédent permet de contrôler qu’il s’agit bien du premier mois convenable.
Une condition décalée#
Le programme suivant doit chercher le premier terme strictement supérieur à 100, mais il s’arrête trop tôt. Il s’exécute sans message d’erreur : c’est le résultat qu’il faut contrôler.
Comment chercher ?
La valeur 100 doit-elle faire continuer ou arrêter la boucle ? Compare les mots « strictement supérieur » avec l’opérateur utilisé dans la condition, puis vérifie aussi le terme précédent.
Modéliser une situation#
Les programmes de seuil interviennent naturellement dans des questions de capital, d’endettement, de population ou de décroissance. Le modèle mathématique doit être choisi avant d’écrire la boucle : Python calcule les conséquences du modèle, mais ne décide pas si celui-ci décrit correctement la situation réelle.
Choisir la condition d’arrêt#
Question |
La boucle continue tant que… |
Contrôle utile |
|---|---|---|
dépasser un seuil |
la valeur est encore sous le seuil |
vérifier le terme précédent |
approcher une limite connue |
la distance à la limite est trop grande |
afficher l’écart final |
observer une stabilisation |
deux termes consécutifs sont trop éloignés |
ne pas confondre observation et preuve |
comparer deux évolutions |
l’ordre recherché n’est pas encore atteint |
comparer également le rang précédent |
Exercices#
Exercice 1
Partir de u = 1 et doubler la valeur. Déterminer le premier rang pour lequel elle dépasse 1000.
Exercice 2
Partir de x = 2 et ajouter 5 tant que x < 100. Déterminer le nombre d’étapes nécessaires et afficher également la valeur finale.
Exercice 3
On considère \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=0{,}8u_n\). Déterminer le plus petit rang tel que \(u_n<1\).
Exercice 4
On considère \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=0{,}5u_n+1\). Calculer les termes jusqu’à ce que la différence entre deux termes consécutifs soit inférieure à 0.001, puis afficher la valeur obtenue.
Dans cette situation, la suite converge et cette valeur donne une approximation numérique de sa limite. Pour réutiliser ce principe avec une autre relation, on peut aussi prévoir un nombre maximal d’itérations : une erreur dans la condition ne doit pas pouvoir créer une boucle sans fin.
Exercice 5
Écrire une fonction premiere_puissance(a, seuil) qui renvoie le plus petit entier naturel
n pour lequel \(a^n\) est strictement supérieur à seuil. La fonction sera testée
avec plusieurs valeurs de a strictement supérieures à 1.
Exercice 6
Un capital de 1 000 € augmente de 2 % chaque année. Écrire une fonction capital_seuil(S)
qui renvoie le premier nombre d’années nécessaire pour que le capital soit supérieur ou égal
à S. Tester avec 1 200 € puis 1 500 €.
Exercice 7
Deux populations sont modélisées par \(u_0=500\), \(u_{n+1}=1{,}08u_n\) et
\(v_0=800\), \(v_{n+1}=v_n+20\). Déterminer le premier rang auquel u dépasse
strictement v et afficher les deux valeurs à ce rang.
Exercice 8
Un emprunt de 10 000 € est soumis chaque mois à un intérêt de 0,4 %, puis un remboursement fixe de 300 € est versé. Simuler l’évolution du capital restant dû et déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour le rembourser. La dernière mensualité ne doit pas rendre le capital négatif dans le modèle affiché.
Dans le parcours