Puzzle — Extremum d’un trinôme#

Propriété à démontrer

Soit \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\), avec \(a\neq0\).

  • Si \(a>0\), \(f\) admet pour minimum \(\beta\), atteint en \(\alpha\).

  • Si \(a<0\), \(f\) admet pour maximum \(\beta\), atteint en \(\alpha\).

Les raisonnements correspondant aux deux signes de \(a\) peuvent apparaître dans n’importe quel ordre.

Activité interactive

Justifier l’extremum d’un trinôme

9 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Par conséquent, \(f\) admet pour maximum \(\beta\), atteint au point d’abscisse \(\alpha\).

  2. Ainsi \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\leqslant\beta\). De plus,

    \[f(\alpha)=\beta.\]

  3. Dans les deux cas, l’extremum de \(f\) vaut donc \(\beta\) et il est atteint en \(\alpha\).

  4. Supposons \(a>0\). Pour tout réel \(x\),

    \[(x-\alpha)^2\geqslant0.\]

  5. En multipliant par \(a<0\), le sens de l’inégalité change :

    \[a(x-\alpha)^2\leqslant0.\]

  6. Ainsi \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\geqslant\beta\). De plus,

    \[f(\alpha)=\beta.\]

  7. En multipliant par \(a>0\),

    \[a(x-\alpha)^2\geqslant0.\]

  8. Supposons maintenant \(a<0\). Pour tout réel \(x\),

    \[(x-\alpha)^2\geqslant0.\]

  9. Par conséquent, \(f\) admet pour minimum \(\beta\), atteint au point d’abscisse \(\alpha\).

Indices