Puzzle — Forme canonique#

Propriété à démontrer

Tout trinôme \(f(x)=ax^2+bx+c\), avec \(a\neq0\), peut s’écrire

\[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\frac{b}{2a}, \quad \beta=-\frac{\Delta}{4a}, \quad \Delta=b^2-4ac.\]

Replace les transformations algébriques dans l’ordre. Chaque ligne doit découler de la précédente.

Activité interactive

Obtenir la forme canonique

7 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. On distribue le facteur \(a\) :

    \[f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a}+c.\]

  2. Puisque \(\alpha=-\frac{b}{2a}\) et \(\beta=-\frac{\Delta}{4a}\), on obtient finalement

    \[f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.\]

  3. On complète le carré :

    \[x^2+\frac ba x =\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}.\]

  4. En remplaçant dans l’expression de \(f(x)\),

    \[f(x) =a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 -\frac{b^2}{4a^2}\right]+c.\]

  5. On factorise \(a\) dans les deux premiers termes :

    \[f(x)=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c.\]

  6. On regroupe les termes constants :

    \[-\frac{b^2}{4a}+c =-\frac{b^2-4ac}{4a} =-\frac{\Delta}{4a}.\]

  7. Soit \(x\in\mathbb R\). Partons de

    \[f(x)=ax^2+bx+c.\]

Indices