Puzzle — Indépendance et événement contraire#

Propriété à démontrer

Si deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline B\) sont également indépendants.

Replace les arguments dans l’ordre afin de faire apparaître le critère d’indépendance.

Activité interactive

Conserver l’indépendance par passage au contraire

6 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Les événements \(A\cap B\) et \(A\cap\overline B\) sont incompatibles et leur réunion est \(A\). Ainsi,

    \[\operatorname P(A) =\operatorname P(A\cap B) +\operatorname P(A\cap\overline B).\]

  2. Comme \(A\) et \(B\) sont indépendants,

    \[\operatorname P(A\cap B) =\operatorname P(A)\operatorname P(B).\]

  3. Le critère d’indépendance est vérifié : les événements \(A\) et \(\overline B\) sont indépendants.

  4. Or \(1-\operatorname P(B)=\operatorname P(\overline B)\). Donc

    \[\operatorname P(A\cap\overline B) =\operatorname P(A)\operatorname P(\overline B).\]

  5. Par conséquent,

    \[\operatorname P(A\cap\overline B) =\operatorname P(A)\bigl(1-\operatorname P(B)\bigr).\]

  6. On en déduit

    \[\operatorname P(A\cap\overline B) =\operatorname P(A)-\operatorname P(A\cap B).\]

Indices