Puzzle — Racines et discriminant#

Propriété à démontrer

Pour \(a\neq0\), les solutions de \(ax^2+bx+c=0\) dépendent du signe de \(\Delta=b^2-4ac\) :

  • aucune solution réelle si \(\Delta<0\) ;

  • une solution \(-\frac b{2a}\) si \(\Delta=0\) ;

  • deux solutions \(\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\) et \(\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) si \(\Delta>0\).

Les trois cas sont indépendants et peuvent être placés dans n’importe quel ordre. En revanche, les étapes internes à chaque cas et la conclusion doivent être ordonnées.

Activité interactive

Résoudre selon le signe du discriminant

9 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. D’après la propriété du produit nul,

    \[ax^2+bx+c=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \quad\text{ou}\quad x=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.\]

  2. Un carré est nul si et seulement si sa base est nulle, donc

    \[x+\frac b{2a}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=-\frac b{2a}.\]

  3. Comme \(\Delta>0\), ces deux solutions réelles sont distinctes.

  4. L’équation admet ainsi une unique solution réelle \(x_0=-\frac b{2a}\).

  5. Cas où \(\boldsymbol{\Delta=0}\). L’équation devient

    \[\left(x+\frac b{2a}\right)^2=0.\]

  6. Le membre de gauche est positif ou nul tandis que celui de droite est strictement négatif. L’équation n’a donc aucune solution réelle.

  7. Cas où \(\boldsymbol{\Delta>0}\). La forme canonique permet de factoriser :

    \[ax^2+bx+c =a\left(x-\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\right) \left(x-\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\right).\]

  8. Cas où \(\boldsymbol{\Delta<0}\). L’équation est équivalente à

    \[\left(x+\frac b{2a}\right)^2=\frac{\Delta}{4a^2}.\]

  9. On retrouve donc zéro, une ou deux solutions réelles selon que \(\Delta\) est négatif, nul ou positif.

Indices