Puzzle — Somme des premiers entiers#

Propriété à démontrer

Pour tout entier naturel non nul \(n\),

\[1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.\]

Replace les étapes de la méthode de Gauss : la même somme est écrite dans les deux sens.

Activité interactive

Additionner les premiers entiers

5 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. La somme de droite comporte \(n\) termes. Ainsi,

    \[2S=n(n+1).\]

  2. En additionnant les deux égalités terme à terme, chaque paire vaut \(n+1\) :

    \[2S=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1).\]

  3. En divisant par \(2\), on obtient

    \[S=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.\]

  4. Écrivons la même somme dans l’ordre inverse :

    \[S=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1.\]

  5. Notons

    \[S=1+2+3+\cdots+(n-1)+n.\]

Indices