Puzzle — Somme géométrique#
Propriété à démontrer
Soient \(q\neq 1\) un nombre réel et \(n\) un entier naturel. Alors
\[1+q+q^2+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\]
Les étapes du calcul sont mélangées. Replace-les dans l’ordre pour faire apparaître les termes qui s’annulent. Plusieurs essais sont possibles et le bouton Indice donne une aide progressive.
Activité interactive
6 étapes
Retrouver la formule de la somme géométrique
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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Comme \(q\neq 1\), on peut diviser par \(1-q\). Ainsi,
\[S=1+q+q^2+\cdots+q^n =\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.\] -
En multipliant cette égalité par \(q\), on obtient
\[qS=q+q^2+q^3+\cdots+q^{n+1}.\] -
Soustrayons la seconde égalité à la première :
\[S-qS=(1+q+q^2+\cdots+q^n) -(q+q^2+\cdots+q^n+q^{n+1}).\] -
En factorisant le membre de gauche, il vient
\[(1-q)S=1-q^{n+1}.\] -
Tous les termes intermédiaires se simplifient, donc
\[S-qS=1-q^{n+1}.\] -
Posons
\[S=1+q+q^2+\cdots+q^n.\]
- Commence par donner un nom à la somme que l’on veut calculer.
- Multiplie ensuite toute la somme par q afin de décaler les puissances d’un rang.
- Soustrais les deux égalités : tous les termes compris entre q et qⁿ disparaissent.