Puzzle — Valeur absolue en zéro#

Propriété à démontrer

La fonction \(f:x\mapsto |x|\) n’est pas dérivable en \(0\).

Replace les étapes de l’étude du taux d’accroissement à droite et à gauche de zéro.

Activité interactive

Montrer que la valeur absolue n’est pas dérivable en zéro

7 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Les limites à droite et à gauche sont différentes. Le taux d’accroissement n’admet donc pas de limite en \(0\).

  2. On a donc

    \[\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1.\]

  3. Si \(h>0\), alors \(|h|=h\) et

    \[\frac{|h|}{h}=1.\]

  4. Pour \(h\neq0\), le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est

    \[\frac{f(0+h)-f(0)}h=\frac{|h|}{h}.\]

  5. Par conséquent, la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en \(0\).

  6. On a donc

    \[\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1.\]

  7. Si \(h<0\), alors \(|h|=-h\) et

    \[\frac{|h|}{h}=-1.\]

Indices