Graphiques

Dès la seconde

Cette partie réinvestit le tracé découvert dans la page « Données ». Construire un graphique ne consiste pas seulement à choisir une couleur : il faut déterminer les points à calculer, choisir une représentation adaptée, régler le repère et conserver un regard critique sur l’image obtenue.

Tracer une fonction sur un intervalle

Le module matplotlib reçoit une liste d’abscisses x et une liste d’ordonnées y de même longueur. Pour tracer une fonction, on choisit d’abord un intervalle \([a;b]\), puis on le découpe en n sous-intervalles de même largeur. On obtient ainsi n + 1 points, bornes comprises.

Exemple

Courbe d’une fonction polynôme

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return x**2 - 3*x + 2 a = -2 b = 5 n = 140 x = [] y = [] for i in range(n + 1): valeur = a + i*(b - a)/n x.append(valeur) y.append(f(valeur)) plt.plot(x, y) plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Le programme sépare quatre choix : la fonction, l’intervalle, le nombre de subdivisions et le type de tracé. On peut donc remplacer f sans modifier la boucle. À l’inverse, augmenter n ne change pas la fonction : cela fournit seulement davantage de points à matplotlib.

Rendre le graphique lisible

Un graphique doit pouvoir être compris sans relire le programme. Un titre, le nom des axes, une grille et une légende précisent ce qui est représenté. Les axes du repère peuvent être ajoutés avec axhline et axvline.

Exemple

Construire un repère lisible

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return x**2 - 3*x + 2 x = [-2 + 0.05*i for i in range(141)] y = [f(valeur) for valeur in x] plt.plot(x, y, color="#467f9b", label="f(x)=x²-3x+2") plt.axhline(0, color="black", linewidth=1) plt.axvline(0, color="black", linewidth=1) plt.xlim(-2, 5) plt.ylim(-2, 10) plt.xlabel("x") plt.ylabel("f(x)") plt.title("Représentation d’une fonction polynôme") plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend() plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Les commandes xlim et ylim fixent la fenêtre visible. Change plt.ylim(-2, 10) en plt.ylim(-20, 40) : la courbe est identique, mais ses variations paraissent moins marquées. Le choix du repère influence donc la lecture, jamais les valeurs de la fonction.

Comparer plusieurs fonctions

Dès la première

Plusieurs appels à plot avant show placent plusieurs courbes dans le même repère. Il faut alors conserver les mêmes abscisses et identifier chaque fonction par une légende.

Exemple

Comparer trois paraboles

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return x**2 def g(x): return (x - 2)**2 def h(x): return 2*x**2 x = [-4 + 0.05*i for i in range(161)] plt.plot(x, [f(t) for t in x], label="f(x)=x²") plt.plot(x, [g(t) for t in x], label="g(x)=(x-2)²") plt.plot(x, [h(t) for t in x], label="h(x)=2x²") plt.ylim(-1, 16) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend() plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

La deuxième parabole est translatée horizontalement ; la troisième paraît plus resserrée. Le graphique aide à formuler ces observations, mais ne les démontre pas. De même, une intersection lue sur la figure fournit une valeur approchée qu’un calcul doit confirmer.

Courbe, nuage ou points isolés ?

Relier des points par des segments suggère que des valeurs intermédiaires ont un sens. Ce choix convient à la courbe approchée d’une fonction ou à une évolution continue, mais pas toujours à une suite ou à un ensemble de mesures.

Choisir une représentation

Commande	Représentation	Exemple d’usage
plt.plot(x, y)	points reliés	fonction ou évolution ordonnée
plt.scatter(x, y)	nuage de points	mesures ou termes d’une suite
plt.bar(x, y)	barres séparées	effectifs par catégorie
plt.hist(valeurs)	répartition par classes	distribution d’un échantillon

L’histogramme est utilisé plus loin dans la page « Simulations ». Ici, la suite définie par \(u_0=20\) et \(u_{n+1}=0{,}75u_n+2\) n’existe qu’aux rangs entiers : un nuage de points respecte cette nature discrète.

Exemple

Représenter les termes d’une suite

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt rangs = [] termes = [] u = 20 for n in range(11): rangs.append(n) termes.append(u) u = 0.75*u + 2 plt.scatter(rangs, termes, color="#d97706") plt.axhline(8, color="black", linestyle="--", label="valeur 8") plt.xticks(rangs) plt.xlabel("rang n") plt.ylabel("uₙ") plt.title("Premiers termes d’une suite") plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend() plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Remplace scatter par plot puis par plot(rangs, termes, "o-"). Les valeurs calculées ne changent pas, mais les segments ajoutés peuvent donner l’impression que la suite possède des valeurs entre deux rangs entiers.

Tracer une courbe paramétrée

Une courbe peut être décrite par deux coordonnées qui dépendent d’un même paramètre. Lorsque \(t\) parcourt \([0;2\pi]\), les relations

\[x(t)=a\cos(t),\qquad y(t)=b\sin(t)\]

décrivent une ellipse. Pour \(a=b\), on obtient un cercle.

Exemple

Tracer une ellipse

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt from math import cos, sin, pi a = 3 b = 2 x = [] y = [] for i in range(201): t = 2*pi*i/200 x.append(a*cos(t)) y.append(b*sin(t)) plt.plot(x, y, color="#7c3aed") plt.axhline(0, color="black", linewidth=1) plt.axvline(0, color="black", linewidth=1) plt.axis("equal") plt.grid(True, alpha=0.3) plt.title("Une ellipse paramétrée") plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

L’instruction axis("equal") impose la même échelle sur les deux axes. Sans elle, même un cercle peut sembler elliptique. Modifie a et b, puis vérifie sur le graphique les quatre points d’intersection avec les axes.

Un graphique peut être trompeur

Un tracé est construit à partir des seules valeurs calculées. matplotlib ne connaît ni les variations de la fonction entre deux points, ni son domaine de définition. Il relie simplement les points dans l’ordre fourni.

Un pas trop grand

La fonction \(x\mapsto\sin(8x)\) oscille huit fois sur \([0;2\pi]\). Un choix malheureux de seulement seize subdivisions rencontre presque uniquement des zéros et masque ces oscillations.

Exemple

Comparer deux échantillonnages

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt from math import sin, pi x_fin = [2*pi*i/400 for i in range(401)] y_fin = [sin(8*t) for t in x_fin] x_grossier = [2*pi*i/16 for i in range(17)] y_grossier = [sin(8*t) for t in x_grossier] plt.plot(x_fin, y_fin, label="400 subdivisions") plt.plot(x_grossier, y_grossier, "o--", label="16 subdivisions") plt.axhline(0, color="black", linewidth=1) plt.xlabel("x") plt.ylabel("sin(8x)") plt.title("Une même fonction, deux échantillonnages") plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend() plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Une courbe apparemment régulière ne garantit donc pas que le nombre de points est suffisant. Il est utile de recommencer avec un pas plus petit et de vérifier si l’allure se stabilise.

Une fonction discontinue

Le premier programme ignore bien \(x=0\), où la fonction inverse n’est pas définie. Pourtant, la liste place les valeurs négatives puis positives à la suite : plot relie donc les deux côtés de la courbe par un segment qui n’a aucun sens mathématique.

Exemple

Un segment qui ne devrait pas exister

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt x = [i/10 for i in range(-30, 31) if i != 0] y = [1/t for t in x] plt.plot(x, y) plt.axvline(0, color="black", linewidth=1) plt.ylim(-10, 10) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.title("Un tracé trompeur de la fonction inverse") plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Pour éviter cette fausse liaison, on construit une liste de chaque côté de la valeur interdite et on effectue deux tracés séparés.

Exemple

Séparer les deux branches

Prêt

import matplotlib.pyplot as plt x_gauche = [i/10 for i in range(-30, 0)] x_droite = [i/10 for i in range(1, 31)] plt.plot(x_gauche, [1/t for t in x_gauche], color="#467f9b") plt.plot(x_droite, [1/t for t in x_droite], color="#467f9b") plt.axhline(0, color="black", linewidth=1) plt.axvline(0, color="black", linewidth=1) plt.xlim(-3, 3) plt.ylim(-10, 10) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.title("Les deux branches de la fonction inverse") plt.show()

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Avant d’interpréter un graphique, trois contrôles sont donc utiles : vérifier le domaine de définition, diminuer le pas et essayer une autre fenêtre.

Mise en pratique

1. Tracer une fonction polynôme. Représenter \(f(x)=x^2-3x+2\) sur \([-2;5]\) en ajoutant un titre, le nom des axes, les axes du repère et une grille.

À toi

Tracer une fonction polynôme

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

2. Comparer deux fonctions. Dans un même repère, tracer \(f(x)=x^2-4\) et \(g(x)=2x-1\) sur \([-4;4]\). Estimer graphiquement les abscisses des points d’intersection, puis contrôler ces valeurs par le calcul.

À toi

Comparer deux courbes

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

3. Représenter une suite. Pour \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+4\), calculer les quinze premiers termes et les représenter par des points isolés. Ajouter la droite horizontale d’équation \(y=10\), puis commenter l’évolution observée.

À toi

Représenter une suite par des points

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

4. Modifier une courbe paramétrée. Tracer l’ellipse définie par \(x(t)=4\cos(t)\) et \(y(t)=\sin(t)\) pour \(t\in[0;2\pi]\). Utiliser la même échelle sur les deux axes et faire apparaître les axes du repère.

À toi

Tracer une ellipse aplatie

À faire

▶ Exécuter Effacer la sortie

Sortie

Choisir une autre partie

← Retour aux quatre thèmes

Partie suivante : algorithmes →