Puzzle — Caractérisations du milieu#

Propriété à démontrer

On suppose \(A\neq B\), afin que le segment ne soit pas réduit à un point. Pour trois points \(A\), \(B\) et \(I\),

\[\begin{split}\begin{aligned} &I\text{ est le milieu de }[AB]\\ &\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\\ &\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0. \end{aligned}\end{split}\]

Les implications directe et réciproque peuvent être placées dans les deux ordres. Les dernières étapes relient ensuite les deux égalités vectorielles.

Activité interactive

Caractériser vectoriellement un milieu

6 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. En rassemblant les deux vecteurs dans le même membre,

    \[\begin{split}\begin{aligned} &-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\\ &\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow0. \end{aligned}\end{split}\]

    On obtient bien les trois caractérisations équivalentes.

  2. Supposons que \(I\) soit le milieu de \([AB]\). Les points \(A\), \(I\) et \(B\) sont alignés dans cet ordre, et \(AI=IB\).

  3. Réciproquement, supposons

    \[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.\]

  4. Enfin, comme \(\overrightarrow{AI}=-\overrightarrow{IA}\),

    \[\begin{split}\begin{aligned} &\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} \\ &\Longleftrightarrow\quad -\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}. \end{aligned}\end{split}\]

  5. Les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\) ont alors même direction, même sens et même norme. Ainsi,

    \[\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.\]

  6. Cette égalité impose que \(A\), \(I\) et \(B\) soient alignés dans cet ordre et que \(AI=IB\). Le point \(I\) est donc le milieu de \([AB]\).

Indices

    Pour poursuivre. Pour \(P(0;2)\), \(Q(6;4)\) et \(J(3;3)\), vérifie les deux égalités vectorielles et conclus que \(J\) est le milieu de \([PQ]\).