Puzzle — Irrationalité de racine 2#

Propriété à démontrer

Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers.

Les morceaux du raisonnement par l’absurde sont mélangés. Replace-les dans l’ordre logique. Plusieurs essais sont possibles et le bouton Indice donne une aide progressive.

Activité interactive

Démontrer que √2 est irrationnel

8 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Il existe alors deux entiers \(p\) et \(q\), avec \(q\neq 0\), tels que

    \[\sqrt{2}=\frac{p}{q},\]

    et la fraction \(\frac pq\) peut être choisie irréductible.

  2. Ainsi, \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.

  3. Les entiers \(p\) et \(q\) sont donc tous les deux divisibles par \(2\). Cela contredit le fait que la fraction \(\frac pq\) est irréductible.

  4. En remplaçant \(p\) par \(2k\) dans l’égalité \(p^2=2q^2\), on obtient

    \[4k^2=2q^2,\]

    puis \(q^2=2k^2\).

  5. Il existe donc un entier \(k\) tel que \(p=2k\).

  6. En élevant cette égalité au carré, on obtient

    \[p^2=2q^2.\]

    Ainsi, \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair.

  7. L’hypothèse de départ est donc fausse. Par conséquent, \(\sqrt{2}\) est irrationnel.

  8. Supposons, par l’absurde, que \(\sqrt{2}\) soit rationnel.

Indices