Puzzle — Irrationalité de racine 2#
Propriété à démontrer
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux nombres entiers.
Les morceaux du raisonnement par l’absurde sont mélangés. Replace-les dans l’ordre logique. Plusieurs essais sont possibles et le bouton Indice donne une aide progressive.
La preuve repose sur deux faits à garder en vue : le carré d’un entier pair oblige l’entier à être pair, et une fraction irréductible ne peut avoir son numérateur et son dénominateur tous deux pairs.
Démontrer que √2 est irrationnel
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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Il existe alors deux entiers \(p\) et \(q\), avec \(q\neq 0\), tels que
\[\sqrt{2}=\frac{p}{q},\]et la fraction \(\frac pq\) peut être choisie irréductible.
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Ainsi, \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
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Les entiers \(p\) et \(q\) sont donc tous les deux divisibles par \(2\). Cela contredit le fait que la fraction \(\frac pq\) est irréductible.
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En remplaçant \(p\) par \(2k\) dans l’égalité \(p^2=2q^2\), on obtient
\[4k^2=2q^2,\]puis \(q^2=2k^2\).
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Il existe donc un entier \(k\) tel que \(p=2k\).
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En élevant cette égalité au carré, on obtient
\[p^2=2q^2.\]Ainsi, \(p^2\) est pair, donc \(p\) est pair.
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L’hypothèse de départ est donc fausse. Par conséquent, \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
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Supposons, par l’absurde, que \(\sqrt{2}\) soit rationnel.
- Un raisonnement par l’absurde commence par supposer le contraire de ce que l’on veut démontrer.
- À partir de p² = 2q², détermine d’abord la parité de p, puis remplace p par 2k.
- La contradiction porte sur l’irréductibilité de la fraction p/q.
Pour poursuivre. Écris une preuve analogue de l’irrationalité de \(\sqrt{3}\) en recherchant ce que l’égalité \(p²=3q²\) impose aux multiples de 3.