Puzzle — Équation différentielle#
Propriété à démontrer
Soient \(a\) et \(b\) deux réels avec \(a\neq 0\). On considère l’équation différentielle
Ses solutions sont exactement les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
Les morceaux de la démonstration sont tous mélangés. Replace-les dans l’ordre logique. Les deux grandes parties de la preuve peuvent être interverties, mais la conclusion doit rester à la fin. Plusieurs essais sont possibles et le bouton Indice donne une aide progressive sans dévoiler immédiatement la solution.
Retrouver la démonstration
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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On a donc, pour tout réel \(x\),
\[f(x)=k\mathrm{e}^{ax}+f_0(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}.\] -
On a donc, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[f'(x)=af(x)+b.\] -
Finalement, les solutions de l’équation différentielle \(y'=ay+b\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}, \qquad k\in\mathbb{R}.\] -
On a montré que, pour tout réel \(k\), les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}\]sont solutions de l’équation différentielle \(y'=ay+b\).
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Il existe donc un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\),
\[(f-f_0)(x)=f(x)-f_0(x)=k\mathrm{e}^{ax}.\] -
On en déduit que la fonction \(f-f_0\) est solution de l’équation différentielle \(y'=ay\).
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Pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[f'(x)=k\times a\mathrm{e}^{ax}=a\times k\mathrm{e}^{ax}.\] -
Or, pour tout \(x\in\mathbb{R}\),
\[af(x)+b =a\left(k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}\right)+b =a\times k\mathrm{e}^{ax}.\] -
On a montré que si une fonction \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'=ay+b\), alors il existe un réel \(k\) tel que, pour tout réel \(x\),
\[f(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}.\] -
Soit \(f\) une solution quelconque de l’équation différentielle \((E)\).
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Autrement dit,
\[(f-f_0)'=a(f-f_0).\] -
Donc \(f\) est solution de l’équation différentielle \((E)\).
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Soit \(k\) un nombre réel.
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On considère la fonction \(f_0\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f_0(x)=-\frac{b}{a}.\] -
Considérons la fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)=k\mathrm{e}^{ax}-\frac{b}{a}.\] -
On a \(f'=af+b\) et \(f_0'=af_0+b\). En soustrayant membre à membre, on obtient
\[f'-f_0'=a(f-f_0).\] -
Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f_0'(x)=0\) et
\[af_0(x)+b=a\left(-\frac{b}{a}\right)+b=0.\]Donc \(f_0\) est solution de \((E)\).
- La démonstration comporte deux implications. Commence par vérifier que toute fonction de la forme proposée est solution.
- Dans la seconde partie, introduis la solution constante f₀ = -b/a, puis étudie la fonction f - f₀.
- Une fois établi que f - f₀ est solution de y' = ay, utilise la forme connue f - f₀ = k eᵃˣ, puis ajoute f₀ pour retrouver l’expression de f.