Puzzle — Inégalité de Bernoulli#
Propriété à démontrer
Soit \(a\) un nombre réel positif. Pour tout entier naturel \(n\),
Les étapes de cette démonstration par récurrence sont mélangées. Replace-les dans l’ordre logique. Plusieurs essais sont possibles et le bouton Indice donne une aide progressive.
Démontrer l’inégalité de Bernoulli
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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Comme \(a\geqslant 0\), on a \(1+a>0\). On peut donc multiplier l’inégalité précédente par \(1+a\) sans en changer le sens.
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Pour tout entier naturel \(n\), notons \(\mathcal P_n\) la propriété
\[(1+a)^n\geqslant 1+na.\] -
Or \(ka^2\geqslant 0\). Par conséquent,
\[1+(k+1)a+ka^2\geqslant 1+(k+1)a.\] -
Hérédité. Soit \(k\) un entier naturel. Supposons que \(\mathcal P_k\) soit vraie, c’est-à-dire
\[(1+a)^k\geqslant 1+ka.\] -
Initialisation. Pour \(n=0\),
\[(1+a)^0=1 \qquad\text{et}\qquad 1+0\times a=1.\]La propriété \(\mathcal P_0\) est donc vraie.
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Conclusion. D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel \(n\),
\[(1+a)^n\geqslant 1+na.\] -
En développant le membre de droite,
\[(1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+ka^2.\] -
On obtient
\[(1+a)^{k+1}\geqslant (1+ka)(1+a).\] -
On en déduit
\[(1+a)^{k+1}\geqslant 1+(k+1)a.\]Ainsi, \(\mathcal P_{k+1}\) est vraie.
- Identifie les trois grandes parties d’une récurrence : initialisation, hérédité et conclusion.
- Dans l’hérédité, multiplie l’hypothèse de récurrence par 1 + a. Il faut justifier que ce nombre est positif.
- Après développement, le terme ka² est positif : il permet d’obtenir exactement l’inégalité attendue au rang k + 1.