Puzzle — Limite de l’exponentielle#

Propriété à démontrer

La fonction exponentielle vérifie

\[\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty.\]

Replace les étapes permettant de passer de la suite géométrique \((\mathrm e^n)\) à la fonction exponentielle.

Activité interactive

Démontrer la limite de l’exponentielle

6 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Ainsi, pour tout réel \(A\), toutes les valeurs de \(\mathrm e^x\) dépassent \(A\) dès que \(x\) est suffisamment grand.

  2. La suite \((\mathrm e^n)\) est géométrique de raison \(\mathrm e>1\). Elle tend donc vers \(+\infty\).

  3. La fonction exponentielle étant croissante, pour tout réel \(x\geqslant n_1\),

    \[\mathrm e^x\geqslant\mathrm e^{n_1}\geqslant A.\]

  4. Il existe alors un entier naturel \(n_1\) tel que

    \[\mathrm e^{n_1}\geqslant A.\]

  5. Soit \(A\) un nombre réel quelconque.

  6. Par définition,

    \[\lim_{x\to+\infty}\mathrm e^x=+\infty.\]

Indices