Puzzle — Limite d’une suite géométrique#

Propriété à démontrer

Si \(q>1\), alors

\[\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty.\]

Replace les étapes reliant une suite géométrique à l’inégalité de Bernoulli puis au théorème de comparaison.

Activité interactive

Démontrer que qⁿ tend vers +∞

5 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Comme \(a>0\),

    \[\lim_{n\to+\infty}(1+na)=+\infty.\]

  2. Pour tout entier naturel \(n\),

    \[q^n=(1+a)^n.\]

  3. On a donc \(q^n\geqslant1+na\) pour tout \(n\). D’après le théorème de comparaison,

    \[\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty.\]

  4. Puisque \(q>1\), le réel \(a=q-1\) est strictement positif et

    \[q=1+a.\]

  5. D’après l’inégalité de Bernoulli,

    \[(1+a)^n\geqslant1+na.\]

Indices