Puzzle — Somme par récurrence#

Propriété à démontrer

Pour tout entier naturel \(n\geqslant1\),

\[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2.\]

Replace les étapes de l’initialisation, de l’hérédité et de la conclusion.

Activité interactive

Démontrer la formule par récurrence

8 étapes

Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.

  1. Hérédité. Soit \(k\geqslant1\). Supposons \(\mathcal P_k\) vraie, c’est-à-dire

    \[\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k(k+1)}2.\]

  2. Conclusion. D’après le principe de récurrence, pour tout entier \(n\geqslant1\),

    \[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2.\]

  3. Initialisation. Pour \(n=1\),

    \[\sum_{i=1}^{1}i=1 \qquad\text{et}\qquad \frac{1(1+1)}2=1.\]

    La propriété \(\mathcal P_1\) est vraie.

  4. Pour tout entier \(n\geqslant1\), notons \(\mathcal P_n\) la propriété

    \[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2.\]

  5. On factorise et on simplifie :

    \[\frac{k(k+1)}2+(k+1) =(k+1)\left(\frac k2+1\right) =\frac{(k+1)(k+2)}2.\]

  6. Au rang suivant, on sépare le dernier terme :

    \[\sum_{i=1}^{k+1}i =\sum_{i=1}^{k}i+(k+1).\]

  7. En utilisant l’hypothèse de récurrence,

    \[\sum_{i=1}^{k+1}i =\frac{k(k+1)}2+(k+1).\]

  8. La propriété \(\mathcal P_{k+1}\) est donc vraie.

Indices