Puzzle — Somme par récurrence#
Propriété à démontrer
Pour tout entier naturel \(n\geqslant1\),
Pour poursuivre. Pour la somme \(1+3+5+⋯+(2n-1)\), propose une propriété à démontrer par récurrence et indique son rang initial.
Replace les étapes de l’initialisation, de l’hérédité et de la conclusion.
Démontrer la formule par récurrence
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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Hérédité. Soit \(k\geqslant1\). Supposons \(\mathcal P_k\) vraie, c’est-à-dire
\[\sum_{i=1}^{k}i=\frac{k(k+1)}2.\] -
Conclusion. D’après le principe de récurrence, pour tout entier \(n\geqslant1\),
\[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2.\] -
Initialisation. Pour \(n=1\),
\[\sum_{i=1}^{1}i=1 \qquad\text{et}\qquad \frac{1(1+1)}2=1.\]La propriété \(\mathcal P_1\) est vraie.
-
Pour tout entier \(n\geqslant1\), notons \(\mathcal P_n\) la propriété
\[\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}2.\] -
On factorise et on simplifie :
\[\frac{k(k+1)}2+(k+1) =(k+1)\left(\frac k2+1\right) =\frac{(k+1)(k+2)}2.\] -
Au rang suivant, on sépare le dernier terme :
\[\sum_{i=1}^{k+1}i =\sum_{i=1}^{k}i+(k+1).\] -
En utilisant l’hypothèse de récurrence,
\[\sum_{i=1}^{k+1}i =\frac{k(k+1)}2+(k+1).\] -
La propriété \(\mathcal P_{k+1}\) est donc vraie.
- Commence par définir précisément la propriété Pₙ.
- Au rang k + 1, sépare le dernier terme de la somme avant d’utiliser l’hypothèse de récurrence.
- Le résultat attendu au rang k + 1 est (k + 1)(k + 2)/2.