Puzzle — Théorème de comparaison#
Propriété à démontrer
Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que \(u_n\leqslant v_n\) à partir d’un certain rang. Si
alors \(\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty\).
Replace les arguments dans l’ordre. Le point essentiel consiste à combiner deux rangs différents.
Démontrer le théorème de comparaison
Fais glisser les étapes, ou clique sur un bloc puis sur celui devant lequel tu veux le placer.
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Soit \(A\) un nombre réel quelconque.
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Ainsi, pour tout réel \(A\), tous les termes de \((v_n)\) sont supérieurs à \(A\) à partir d’un certain rang. Par définition,
\[\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty.\] -
Par ailleurs, \(u_n\leqslant v_n\) à partir d’un certain rang. Il existe donc un entier \(n_1\) tel que cette inégalité soit vraie pour tout \(n\geqslant n_1\).
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Comme \(u_n\to+\infty\), il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geqslant n_0\),
\[u_n\geqslant A.\] -
Pour tout \(n\geqslant N\), les deux informations précédentes sont simultanément valables :
\[u_n\geqslant A \qquad\text{et}\qquad u_n\leqslant v_n.\] -
Posons
\[N=\max(n_0,n_1).\] -
On obtient alors, pour tout \(n\geqslant N\),
\[v_n\geqslant u_n\geqslant A.\]
- La définition de uₙ → +∞ doit être appliquée à un réel A quelconque.
- Une hypothèse fournit un rang n₀ et l’autre un rang n₁.
- Choisis N = max(n₀,n₁) pour pouvoir utiliser simultanément les deux informations.